Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

—Я ничего не просчитываю. Да, и не могу… У меня двойка была по математике. Так, что доверяю исключительно интуиции. Хотя, она иногда подводит.

а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

250 студентов поехали на картошку, причём у каждого из них ровно 4 друга среди остальных.

По окончании уборочных работ оказалось, что ровно 188 студентов перевыполнили план.

Докажите, что найдётся студент, у которого все четверо друзей перевыполнили план.

Мне всегда было любопытно, о чём думают авторы школьных задачников и откуда они берут сюжеты для своих задач.

Вот обычная задачка из учебника для 7 класса:

…

По контракту фермер обязан поставлять магазину молоко точно к 7 часам утра. Если электромобиль поедет со скоростью 30 км\ч, то фермер прибудет в магазин в 6 часов утра. Если со скорость 20 км\ч — то в 8 часов утра. Как далеко находится ферма от магазина и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть вовремя?

…

А теперь представьте с…
… показать весь текст …

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Если число 1 (единицу) возвести в степень 365, то получится (1,0)
Если число 1,01 возвести в степень 365, то получится (37,8)
Если число 0,99 возвести в ту же степень (365), то получится (0,025)

Смысл примера в том, что 0,1 (одна десятая) от числа (больше или меньше) и разница на лицо.

Коль не сложить, то нужно вычитать —
сказала ты и вроде так решила,
но в самом деле, так легко сказать,
а где же взять, скажи, на это силы?

Мы продолжаем складывать в рюкзак,
всё то, что унести с собой не можем,
смотрю, не вычитается никак
и понимаю — это, правда, сложно.

А знаешь, сколько раз хотела я,
всё вычесть, но не стёрла даже номер,
лишь повторяла: мы теперь — друзья,
и вместе ничего уже не строим…
… показать весь текст …

Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры.

Попробуйте сделать это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

(Для меньших репьюнитов утверждение неверно. Например, 1234987650 делится на 11111, 1234786509 делится на 1111 (а значит, на 11 и 1), 1234675089 делится на 111.)

Прежде на жалобы о том, как трудно соревноваться с американцами, которые все считают на мощных компьютерах, уверенно отвечал:
— Ничего, обойдемся серым веществом.
Гениальный математик М. В. Келдыш исходил из того, что советские математики все равно считают быстрее американцев — более быстрые алгоритмы делают свое дело получше вычислительной мощности процессоров!
Позже стал на подобные жалобы раздражаться:
— Что я могу сделать?
Гений даже не предчувствовал, а видел, что гениальная страна СССР идет не тем курсом, идет к разрушительной «Перестройке»…

Правда — величина векторная.

Пример живой математики…

Сколько будет один плюс один? — Два!
А сколько будет одна мама плюс один папа? — Будет по-разному… Иногда один, иногда два, иногда двадцать.

Наибольшее известное простое число и уровень развития цивилизации

Существует Шкала Кардашёва — метод измерения технологического развития цивилизации, основанный на количестве энергии, которое цивилизация может использовать для своих нужд. Однако мне эта шкала не совсем нравится, по крайней мере по одной причине. Человеческий мозг, к примеру, потребляет всего около 25 ватт, но может многое из того, чего не могут суперкомпьютеры, потребляющие мегаватты энергии. Так что сама по себе энергия ещё не…
… показать весь текст …

Число Пи, скажу вам братцы,
Легче так запоминать.
Три четырнадцать пятнадцать
Девять два, шесть пять, три пять.

Биология: знание своего тела,
Английский: ведущий язык мира
География: страны в которых лучше, чем у нас.
НО СИНУСЫ КОСИНУСЫ НАМ ЗАЧЕМ?

«Олег, что такое круг?»
«Круг — это квадрат, который не имеет углов».

Как изобрели цифру, обозначающую «ничего»? История нуля

Как изобрели цифру, обозначающую «ничего»? История нуля
«…- А еще один университетский волшебник как-то рассказал мне, что есть такая штука, «ничего», ну, ты наверняка знаешь, так вот, ее-то клатчцы и придумали. А я его и спрашиваю: «Как так? То самое ничего?» — «Ага, — говорит. — Это и есть их большой вклад в архиметику. А именно — ноль».
— И в самом деле, похоже, не шибко умные люди то, — заметил Шнобби. — Я вот тоже, к примеру, ничего…
… показать весь текст …

Возможна ли такая раскраска?

Можно ли все точки координатной плоскости с обеими целыми координатами покрасить в красный и синий цвета так, чтобы каждая горизонтальная прямая (с целочисленной ординатой) содержала натуральное число красных точек, а каждая вертикальная прямая (с целочисленной абсциссой) содержала натуральное число синих точек?

(Разумеется, нуль натуральным числом не является.)

Искусственный интеллект
Для сверхразума существует равновесие, а правильное и неправильное существует для тех, кто нарушает это равновесие.

Сверхразум, это и есть центр равновесия, а всё, что отклоняется от равновесия, живёт по правилам и постулатам, что плохо, что хорошо, что правильно, а, что неправильно, что востребовано, а, что невостребовано, что важно, а, что неважно, что полезно, а, что вредно.

За счёт того, что правильно и неправильно, что хорошо, а, что плохо, за счёт того, что начи…
… показать весь текст …

Назовём натуральное число остроумным, если оно начинается с цифры 5, оканчивается цифрой 1, а все остальные его цифры равны 6.
Докажите, что для каждого натурального n, взаимно простого с 10, найдётся остроумное число, кратное n.