Кавычки — это двойной знак препинания с выделительной функцией.
Одна из самых первых попыток установить правила употребления кавычек в славянских языках была предпринята славянским учёным XV века Константином Философом в главе 17 его трактата «О письменехъ». Кавычки, рекомендуемые Константином, выглядели фактически так же, как и современные ёлочки, и применялись для цитирования фраз из псевдографических сочинений.

Кавычки ставятся:
в конструкциях с прямой речью при выделении прямой речи
при цитировании при оформлении цитаты, например:
Он отвернулся и, отходя, пробормотал: «А всё-таки это совершенно против правил» (Лермонтов);
«А что Казбич?» — спросил я нетерпеливо у штабс-капитана (Лермонтов);
«Скажи-ка мне, красавица, — спросил я, — что ты делала сегодня на кровле?»;

в названиях литературных произведений и произведений искусства, например: пьеса А.Н. Островского «Гроза», балет «Щелкунчик»,"Война и мир";

в названиях периодических изданий, теле- и радиопередач, например: журнал «Профиль», газета «Коммерсант», телепередача «КВН»;

в названиях судов, марок машин, например: теплоход «Европа», автомобиль «Вольво».

Кавычками выделяются: слова, употребляемые не в своём обычном значении; слова, употребляемые иронически; слова, впервые предлагаемые или, наоборот, устарелые и необычные и т. п.
Вся деятельная сторона чувства законности совершенно исчезает в «тёмном царстве» и остаётся одна пассивная (Добролюбов).

В русских текстах чаще используют «кавычки-ёлочки».
Знаки «ёлочки» (употребляются в печатных текстах);
«лапки» употребляются, как правило, в рукописных текстах).
Если внутри слов, заключенных в кавычки, встречаются другие слова, в свою очередь заключенные в кавычки, рекомендуется (при условии, что для этого есть технические возможности) использовать кавычки разного рисунка.

*Примечание.
Кавычками не выделяются названия, в состав которых входят имени …, памяти …, например:
Государственный академический театр драмы имени А. С. Пушкина.
Больница памяти 26 комиссаров.

*
Для выделения прямой речи употребляются тире или кавычки:
1.Если прямая речь начинается с абзаца, то перед началом её ставится тире, например:
Маленькая девочка бежала и кричала:
— Не видали маму? (М. Горький).
2.Если прямая речь идёт в строку, без абзаца, то перед началом и в конце её ставятся кавычки, например:
Маленькая девочка бежала и кричала: «Не видали маму?»

*
Если перед закрывающими кавычками стоит знак вопросительный, или восклицательный, или многоточие, то те же самые знаки не повторяются после кавычек; неодинаковые же знаки, если они требуются в силу характера соответствующих частей текста, могут ставиться перед закрывающими кавычками и после них, например:

Читали ли вы роман Чернышевского «Что делать?»
Но:
Драматический кружок готовит к постановке пьесу «В бой!».
Отчего вы говорите: «Как бы не так!»?