Зажгёт это фраза которая раньше употреблялась в простонародье, а в нынешнее время соответственно второй вариант — зажжёт.
В русском языке буквы «г» и «ж» часто заменяют друг друга в однокоренных словах.
Запомните: буква «г» появится в повелительном наклонении и в формах, где появляется гласная «у» после нее.
В остальных случаях перед гласной «е» будет писаться двойная «ж».
Трудности вызывают и другие подобные слова — например, «печь», «стричь», «течь», «влечь», «стричь», «стеречь» и др.
Спрягаем глаголы «жечь», «печь» и «течь» в настоящем времени:
(я) жгу, пеку, теку; (мы) жжём, печём, течём; (ты) жжёшь, печёшь, течёшь; (вы) жжёте, печёте, течёте; (он, она, оно) жжёт, печёт, течёт; (они) жгут, пекут, текут.
Правильное спряжение глаголов «зажечь», «испечь» и «утечь» и подобных им в будущем времени:
(я) зажгу, испеку, утеку; (мы) зажжём, испечём, утечём; (ты) зажжёшь, испечёшь, утечёшь; (вы) зажжёте, испечёте, утечёте; (он, она, оно) зажжёт, испечёт, утечёт; (они) зажгут, испекут, утекут.