Можно к собаке прибавить собаку — получится две собаки.
Но невозможно из собаки вычесть собаку.
Еще невозможней из собаки вычесть кота.

Две задачи для тренировки мозга:

Задача № 1:
Таня выписала (по одному разу) все натуральные числа от 1 до n (включительно) в некотором порядке. Оказалось, что никакая сумма нескольких написанных подряд чисел не кратна n+1.
При каких натуральных n такое возможно?

Задача № 2:
Первоклассница Таня знает только цифры 1 и 2. Сможет ли Таня написать 10-значное число, кратное 2023?

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком «плюс»). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

Некоторые говорят мне: «Изучай математику на иврите, в чём проблема? Все справляются, и ты сможешь.»
Эти люди, по всей видимости, понятия не имеют, что значит глубоко вникать в изучаемый предмет. Ну, а зубрить можно хоть на китайском, на то она и зубрёжка.

99% людей изучают математику в школе только для того,

чтобы потом помогать своим детям изучать математику в школе.

Знаете, достали уже эти «умники», которые твердят, будто математика не требует знания языка! Приведу простой пример, чтобы объяснить, почему это полное заблуждение.

Вот представьте себе, учитель объясняет, что такое длина дуги. Он говорит: «Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремится к нулю».
И что дальше? Ученик, конечно, спрашивает: «А что такое…
… показать весь текст …

Сегодня встретил знакомую, которая спросила меня: «Если ты так рвёшься изучать математику, то почему бы тебе не пойти на бухгалтерские курсы?»

Меня подобные вопросы всегда шокируют — неужели люди не понимают разницы между математиком и бухгалтером?

Немного успокоившись и частично придя в себя, я решил написать здесь, что думаю по поводу вопроса моей знакомой.

Прежде всего, математика и бухгалтерское дело суть совершенно разные специальности. Математик это учёный, то есть человек, занимающийся…
… показать весь текст …

а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

Когда тебя забанили шесть женщин, это не беда. Ведь каждая в отдельности забанила одного мужчину. А ты можешь забанить сразу шесть женщин.

Интересна судьба Э. Галуа. По нашим меркам у него не было даже высшего образования. При поступлении в Политехническую школу Галуа провалился на экзамене
по математике, запустив тряпку для стирания с доски в голову экзаменатора, посчитав его вопросы слишком тривиальными. В 1829 г. Галуа поступил в Нормальную
школу, из которой был отчислен за свои политические убеждения. Затем сидел в
тюрьме и в 1832 г. убит на дуэли. За свою жизнь он написал несколько работ, которые представил во французскую Акад…
… показать весь текст …

ПРИКЛАДная математика — это такая математика, которую нужно вдалбливать в голову чуть-ли не ПРИКЛАДОМ.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, представьте число 2025 в виде суммы четырёх натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи всех этих слагаемых были различны (необходимо использовать все 10 цифр).

а) Задумано три натуральных числа так, что ПРОИЗВЕДЕНИЕ любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

б) Задумано три натуральных числа так, что СУММА любых двух из них даёт остаток 1 при делении на третье. Какие это числа? Укажите все возможные варианты и докажите, что нет других.

250 студентов поехали на картошку, причём у каждого из них ровно 4 друга среди остальных.

По окончании уборочных работ оказалось, что ровно 188 студентов перевыполнили план.

Докажите, что найдётся студент, у которого все четверо друзей перевыполнили план.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Оказывается, может!
У числа 11101101111 ровно 10 делителей!

—Я ничего не просчитываю. Да, и не могу… У меня двойка была по математике. Так, что доверяю исключительно интуиции. Хотя, она иногда подводит.

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Мне всегда было любопытно, о чём думают авторы школьных задачников и откуда они берут сюжеты для своих задач.

Вот обычная задачка из учебника для 7 класса:

…

По контракту фермер обязан поставлять магазину молоко точно к 7 часам утра. Если электромобиль поедет со скоростью 30 км\ч, то фермер прибудет в магазин в 6 часов утра. Если со скорость 20 км\ч — то в 8 часов утра. Как далеко находится ферма от магазина и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть вовремя?

…

А теперь представьте с…
… показать весь текст …

Двадцать наименьших простых чисел, представимых в виде суммы трёх факториалов:
3, 5, 13, 31, 127, 241, 727, 45361, 3991681, 479006641, 958003201, 6227383681, 87178331521, 87178654081, 20922789893041, 20922789928321, 21009968179201, 355687468012801, 355774606387201, 6402373745644801.