Задача № 1:
В 2012 году участникам Санкт-Петербургской олимпиады по математике предлагалась следующая задача:
Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 на 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.
Доказывать, что выбрать 25 или более таких клеток не получится, от участников олимпиады не требовалось. Однако позже выяснилось, что доказать это совсем нетрудно. Попробуйте и вы!
Задача № 2:
а) Докажите, что для каждого натурального n
существуют два идущих подряд натуральных числа, в каждом из которых чётных цифр ровно в n
раз больше, чем нечётных.
б) Докажите, что для каждого натурального m
существуют два идущих подряд натуральных числа, в каждом из которых нечётных цифр ровно в m
раз больше, чем чётных.
Задача № 3:
(По мотивам задачи Николая Ивановича Авилова.)
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
Таня разрезала по границам клеток квадрат из клетчатой бумаги (сторона которого выражается целым числом) на 16 квадратов и раскрасила их так, что получились 1 белый, 3 серых, 5 чёрных и 7 зелёных квадратов. Причём одноцветные квадраты были равны, а разноцветные квадраты — не равны.
Сделайте это и вы!
Постарайтесь, чтобы исходный квадрат был как можно меньшего размера. Попробуйте доказать, что из квадрата меньшего размера требуемую конструкцию получить нельзя.
Задача № 4:
Назовём натуральное число цветущим, если оно не делится ни на одну из своих ненулевых цифр, а также не даёт остатка, равного 1 или 2, при делении ни на какую из своих ненулевых цифр.
Какое наибольшее количество цветущих чисел могут идти подряд?
Задача № 5:
В английском языке это выглядит так:
8, 18, 11, 15, 5, 4, 14, 9, 19, 1, 7, 17, 6, 16, 10, 13, 3, 12, 20, 2, 0.
А как это выглядит в русском языке?
Задача № 6:
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
Таня шесть раз вынимала шарики из коробки (не возвращая в коробку уже вынутые шарики и не добавляя новых). Каждый раз Таня вынимала треть всех находящихся на тот момент в коробке шариков, плюс ещё треть шарика.
Какое наименьшее число шариков могло остаться в коробке после всех описанных выше операций?
Задача № 7:
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
На каждом поле доски 4 на 4
стояла ровно одна ладья (других фигур на этой доске не было). Когда Таня хлопнула в ладоши, каждая из этих 16 ладей совершила ход на соседнее по стороне поле. Какое наибольшее количество полей могли оказаться пустыми после хлопка Тани?