Место для рекламы

Несколько задач для поднятия настроения и тренировки ума

Задача № 1:
В 2012 году участникам Санкт-Петербургской олимпиады по математике предлагалась следующая задача:
Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 на 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.
Доказывать, что выбрать 25 или более таких клеток не получится, от участников олимпиады не требовалось. Однако позже выяснилось, что доказать это совсем нетрудно. Попробуйте и вы!

Задача № 2:
а) Докажите, что для каждого натурального n
существуют два идущих подряд натуральных числа, в каждом из которых чётных цифр ровно в n
раз больше, чем нечётных.
б) Докажите, что для каждого натурального m
существуют два идущих подряд натуральных числа, в каждом из которых нечётных цифр ровно в m
раз больше, чем чётных.

Задача № 3:
(По мотивам задачи Николая Ивановича Авилова.)
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
Таня разрезала по границам клеток квадрат из клетчатой бумаги (сторона которого выражается целым числом) на 16 квадратов и раскрасила их так, что получились 1 белый, 3 серых, 5 чёрных и 7 зелёных квадратов. Причём одноцветные квадраты были равны, а разноцветные квадраты — не равны.
Сделайте это и вы!
Постарайтесь, чтобы исходный квадрат был как можно меньшего размера. Попробуйте доказать, что из квадрата меньшего размера требуемую конструкцию получить нельзя.

Задача № 4:
Назовём натуральное число цветущим, если оно не делится ни на одну из своих ненулевых цифр, а также не даёт остатка, равного 1 или 2, при делении ни на какую из своих ненулевых цифр.
Какое наибольшее количество цветущих чисел могут идти подряд?

Задача № 5:
В английском языке это выглядит так:
8, 18, 11, 15, 5, 4, 14, 9, 19, 1, 7, 17, 6, 16, 10, 13, 3, 12, 20, 2, 0.
А как это выглядит в русском языке?

Задача № 6:
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
Таня шесть раз вынимала шарики из коробки (не возвращая в коробку уже вынутые шарики и не добавляя новых). Каждый раз Таня вынимала треть всех находящихся на тот момент в коробке шариков, плюс ещё треть шарика.
Какое наименьшее число шариков могло остаться в коробке после всех описанных выше операций?

Задача № 7:
(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)
На каждом поле доски 4 на 4
стояла ровно одна ладья (других фигур на этой доске не было). Когда Таня хлопнула в ладоши, каждая из этих 16 ладей совершила ход на соседнее по стороне поле. Какое наибольшее количество полей могли оказаться пустыми после хлопка Тани?

Опубликовал    13 мар 2023
4 комментария

Похожие цитаты

Учительница математики заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилась сумма кубов всех непростых делителей её возраста. Как зовут учительницу?

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  13 фев 2025

Настя прихвастнула перед Дашей, что смогла, используя только цифры 2, 4, 5, 7 и 8 (каждую из них — хотя бы один раз), записать натуральное число и его куб.
Даша утверждает, что 78 — единственное натуральное число, с которым Настя могла проделать подобный маневр.
Права ли Даша, и если да, то как это доказать?

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  16 фев 2025

Найдите все числа вида 33…3, которые можно представить в виде суммы двух точных квадратов.

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  20 фев 2024

Настя нашла натуральное число, которое оканчивается на 72 и увеличивается в целое число раз (большее 1) от переноса «72» из конца в начало. Сделайте это и вы!

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  12 фев 2025

А покажите-ка мне хотя бы одного математика, получившего своё образование онлайн!
А то что-то диванных специалистов у нас развелось, хоть ковшом греби.
И все они в один голос советуют мне получить образование через Интернет. Вот мне интересно, хоть один из этих троллей пробовал сделать это сам?

Опубликовал  пиктограмма мужчиныЯн Дененберг 2  28 сен 2024