Как изобрели цифру, обозначающую «ничего»? История нуля

Как изобрели цифру, обозначающую «ничего»? История нуля
«…- А еще один университетский волшебник как-то рассказал мне, что есть такая штука, „ничего“, ну, ты наверняка знаешь, так вот, ее-то клатчцы и придумали. А я его и спрашиваю: „Как так? То самое ничего?“ — „Ага, — говорит. — Это и есть их большой вклад в архиметику. А именно — ноль“.
— И в самом деле, похоже, не шибко умные люди то, — заметил Шнобби. — Я вот тоже, к примеру, ничего не изобрел. Этак каждый может.
— К чему я и веду, — поддержал Колон. — Я этому волшебнику говорю: есть, мол, люди, которые придумали, допустим, четыре… или… или…
— …Семь…
— Точно, семь. Вот эти люди — настоящие гении. А НИЧЕГО изобретать не надо. Оно и так есть».
(Т. Пратчетт «Патриот»)

Сегодня это может казаться удивительным, но европейская математическая традиция долгое время не знала никакого нуля. И даже после того, как узнала, старалась подольше без него обходиться. И действительно — зачем нужно число, которое ничего не исчисляет? Бред какой-то… Да и первые европейские системы исчисления нуля не требовали, так как были непозиционными.

Одной непозиционной системой мы пользуемся до сих пор. Кому не знакома римская нумерация, которой мы обозначаем века, королей-тезок и разделы в книгах? Нуль в этой системе отсутствует. Число 20 записывается двумя десятками (ХХ10+10), а 102 — сотней и двумя единицами (CII100+1+1). Вроде бы всё просто, но вот беда — для каждого нового разряда надо выдумывать новый знак (I- 1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000), иначе крупное число из одних единиц станет длинным и неразборчивым. Однако и с добавлением новых знаков числа часто выглядели громоздко. На постаменте знаменитого питерского Медного всадника написана дата открытия памятника — MDCCLXXXII. Сразу ли вы догадаетесь, что это 1782 год? Ну, а совершать подсчеты, оперируя такими числами, было еще труднее.

Впрочем, на практике никто палочками, птичками и крестиками не считал. Для этого использовали счётные доски — абаки. Абак в разных обличьях оказался весьма живучим изобретением. Только калькуляторам удалось вытеснить счёты, которыми в совершенстве владела еще моя бабушка-бухгалтер. Абаки и счёты были разделены на несколько позиционных рядов. Так, чтобы обозначить на счётах число двести семь, на первой проволоке (разряд единиц) отбрасывали в сторону семь костяшек, на третьей (ряд сотен) — две, а на второй (разряд десятков) ничего не отбрасывали, так как десятков в числе не было. Вот этот пробел, это пустое место и стало первым прообразом нуля. Говоря образно, нуль как число и цифра появился практически из ничего.

Произошло это, конечно, не сразу. Одно дело — пустое место, другое дело — знак, и уж совсем третье — число. Первые шаги от пробела к знаку сделали вавилоняне. Их система счета была позиционной, как и наша, но если у нас каждый новый разряд в десять раз больше предыдущего, то у вавилонян — в шестьдесят. Суть позиционной системы заключалась в том, что каждый новый разряд записывался одними и теми же знаками, только располагали их левее предыдущего разряда. У вавилонян знаков было два: вертикальным клинышком обозначали единицу, а горизонтальным — десятку. Таким образом записывали числа до 59, а число 60 снова обозначали вертикальным клинышком. Как это выглядело, вы можете увидеть на рисунке внизу.

Если какой-нибудь разряд отсутствовал, вавилоняне ставили пробел, а в V в. до н.э. стали обозначать пропущенный разряд двумя клинышками. Правда, в конце числа отсутствие разряда не обозначали, в результате числа 1 и 60 выглядели одинаково и различались, видимо, исходя из контекста того, что считали.

Родиной настоящего нуля по праву считают Индию, математики которой, судя по всему, совместили позиционный принцип вавилонян с десятичной системой китайцев. Гениальным итогом индийской математики стала запись любых чисел с помощью десяти цифр, которыми мы пользуемся поныне и которые не совсем справедливо называем арабскими (cами арабы, кстати, всегда называли их индийскими). Позже всех знаком наградили злосчастный нуль.

Само понятие нуля (индийцы называли его «сунья/шунья» — пустое) по-видимому возникло в середине V века. Первое же изображение нуля было обнаружено в числе 270, начертанном на стене г. Гвалиора (876 г.). Очень важно, что нуль здесь впервые стоит в конце числа и внешне напоминает знакомую нам дырку от бублика (разве что немного меньше других цифр). Форма нуля отобразилось и в нашей речи, ведь когда мы хотим оставить в числе только крупные разряды, заменив остальные нулями, то говорим «округлить».

Есть гипотеза, что сам знак нуля индийцы переняли у греков. Да-да, греческая непозиционная система годилась для небольших чисел, но для точных и громоздких астрономических расчетов Клавдию Птолемею приходилось пользоваться вавилонской системой — с ее помощью он записывал дроби. Вместо пропущенного разряда астроном ставил букву «О». Как и вавилоняне, в конце числа пропущенный разряд Птолемей не обозначал и числом не считал.

Заметьте, нуль имеет смысл лишь там, где мы говорим об отсутствии ЧЕГО-ЛИБО. В христианском богословии даже был прием доказательства бытия Божьего через отрицание. Он назывался апофатическим и заключался в том, что Бога определяли через то, чем он НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. Так и нуль служит для исчисления ОТСУТСТВУЮЩЕГО в категориях, которые сами являются существующими. Разряд в числе — категория реальная и конкретная, но если он пуст, то мы употребляем для его количественной характеристики нуль.
Еще проще это пояснить на примере нескольких бидонов для молока. Отсутствие в одном из них молока отнюдь не отменяет самого бидона, поэтому число «ноль литров» имеет вполне конкретное отношение как к бидону, так и к отсутствующему в нем молоку. В математике одно из определений нуля так и гласит: «Нуль — это мера пустого множества, число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента».

Возникновение нуля в десятичной позиционной системе сделало революцию в математике, облегчив как запись чисел, так и арифметические действия с ними. Арабы, вторгнувшиеся на территорию Индии в VII веке, не могли пройти мимо этого великого открытия. Они приняли индийскую систему и развили ее (множество математических терминов — алгебра, алгоритм — имеют арабское происхождение). Знаменитый математик Аль-Хорезми (IX в.) писал в своей книге «Индийское искусство счета»: «Если не остается ничего, то пишут маленький кружок, чтобы место не оставалось пустым. Этот кружок должен занять место, потому что в противном случае у нас будет меньше разрядов, и второй, например, мы можем счесть за первый».

Кстати, долгое время слово «цифра» означала именно «ноль» и ничто другое (инд. «сунья», араб. «аль-сифр», лат. ciffra). От ciffra произошло множество названий, включая слова «шифр» и «зеро», хорошо известное любителям игры в рулетку. Позже термин «цифра» распространился на все знаки арабской нумерации. Слово же «ноль/нуль» вошло в обиход в XVI веке и произошло от греческого nullus — «никакой».

Через арабов индийская система счета пришла в Европу.
Одним из первых пропагандистов арабской системы в Европе был итальянский математик Леонардо Фибоначчи. В 1202 году он написал в своей «Книге абака»: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число».
Реклама Фибоначчи не особо подействовала на европейскую профессуру, она предпочитала не связываться с подозрительными нулями и арабами и продолжала считать по старинке — с помощью античной системы или абака. Так, итальянский математик Джеронимо Кардан (1501−1576) умудрялся решать кубические и квадратные уравнения, не пользуясь нулем, что делало расчеты крайне сложными.

Зато арабскую систему сразу оценили далекие от высоких материй купцы и банкиры, она была незаменима для расчетов, и к XV веку торгаши пользовались ею вовсю. Окончательно десять арабских знаков утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века.

Почему европейцы долгое время не любили нуль?

«О вы, нули мои и нолики,
Я вас любил, я вас люблю!
Скорей лечитесь, меланхолики,
Прикосновением к нулю!

…Когда умру, то не кладите,
Не покупайте мне венок,
А лучше нолик положите
На мой печальный бугорок».
(Н. Олейников)

Космос в учениях древнегреческих философов был материален, а мироздание — предметно. Для античного разума появление мира из ничего было непредставимым. Мироздание могло родиться из неупорядоченного Хаоса, воды, огня, апейронов и прочих первоэлементов — из чего угодно, но только не из пустоты. Недаром числовой основой мироздания Пифагор считал единицу, и все остальные числа возникали уже из нее. Небытие, бессущность, как и понятие числа, ничего не исчисляющего, были для греков одинаково абсурдны. Об этом красноречиво свидетельствуют и два знаменитых античных принципа — Natura abhorret vacuum («Природа не терпит пустоты») и Ex nihilo nihil («Из ничего ничто не появится»). Даже для Демокрита, оперирующего понятием пустоты, эта пустота была лишь условием для пространственного существования и движения атомов — всё тех же изначальных, вечных, неделимых и качественно неизменных первоэлементов.

Ну, а если тому же Клавдию Птолемею приходилось пользоваться позиционной системой и обозначать отсутствие разряда знаком, то этот знак ни в коем случае не воспринимался числом, он был просто заменой слову «ничего». И подобное отношение европейских ученых к нулю продержалось еще несколько веков. Фибоначчи явно отказывает нулю в равноценности другим цифрам. А Рене Декарт, много сделавший для окончательной «легализации» нуля, сам считал его числом «ложным», «ненастоящим» (туда же он относил и отрицательные числа). Мол, для математических операций оно необходимо, но всерьез к нему относиться не стоит. Во многих словарях «нуль» как число до сих пор характеризуют только через арифметические операции.

«Советский энциклопедический словарь», 1980 г.:
«Число 0 от прибавления (или вычитания) которого к любому числу последнее не меняется».

Для нас этот знак так и остался ничтожным «ноликом», который становится «могучим нулем» только в сочетании с другими «настоящими» числами. Недаром такие выражения, как «Полный ноль», «Нуль без палочки», характеризуют ничтожного человека, а глагол «аннулировать» свидетельствует о полном уничтожении чего-либо.

Иное дело — восточное сознание. Индуистов и буддистов Пустота не пугала. Мало того — только бессущное, безвещественное, непредставимое и считалось настоящим, истинным в противовес «покрову Майи» — тому иллюзорному непрочному меняющемуся миру, который нас окружает. У античного мировосприятия не было ничего похожего на буддистскую Нирвану или китайское Дао — понятия по определению не поддающиеся описанию.

Поэтому представление о нуле как о ЧИСЛЕ опять-таки возникло в Индии. Там же впервые попытались описать математические действия с нулем. Сложение и вычитание дались индийцам просто. Справились они и с умножением, определив, что умножая число на нуль, мы получаем тот же нуль. И действительно — умножить число на ноль, это взять это число ноль раз, то есть, не брать вообще, а следовательно и результат будет нулевой.

Настоящие проблемы возникли с делением на нуль. С детства мы заучили, что делить на нуль нельзя, но мало кто помнит, почему нельзя. Индийские математики делить на нуль отчаянно пытались. Так Брахмагупта (VII в.) писал, что «нуль на нуль есть нуль», а про число, деленное на нуль, пишет очень осторожно — «Положительное или отрицательное число, деленное на нуль, есть дробь с нулем в знаменателе». Более смелую попытку осознать деление на нуль сделал Бхаскара.

Бхаскара, «Сиддханта-сиромани» («Венец науки») ок. 1150 г:
«Величина, деленная на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Эта дробь называется бесконечной величиной. Эта величина состоит из величины, имеющей ноль в качестве делителя, она постоянна, несмотря на то, что к ней можно многое добавить и многое из нее извлечь, так же как бесконечен и неизменен Бог даже тогда, когда создаются или прекращают существовать целые миры и множество существ поглощается либо «извергается».

Логика индийского математика понятна — при уменьшении знаменателя дробь автоматически возрастает, а значит, если знаменатель становится ничем, то результат поневоле должен обернуться бесконечностью. Непредставимое отсутствие обращается таким же непредставимым нескончаемым присутствием. Нуль здесь как бы выступает антагонистом Бесконечности и Вечности.

Уже одного этого достаточно, чтобы европейские математики возненавидели деление на нуль и отреклись от него. Конечно, и они оперируют понятием бесконечности, например, признают бесконечность числового ряда и стремление к бесконечности (вспомним графики, которые постоянно приближаются к осям координат, но никогда с ними не пересекаются). Однако и в этих случаях математики имеют дело с ОПРЕДЕЛЕННЫМИ числами. Чистая же бесконечность невыразима численно, и арифметические операции с ней просто лишены смысла. «Идите вы… к философам!» — как бы говорят математики.

К.Ф. Гаусс, 1831:
«Я возражаю против использования бесконечных величин как чего-то завершенного, это не допустимо в математике. Бесконечность — это всего лишь речевой оборот, реальное значение которого — предел, к которому неограниченно приближаются определенные отношения, в то время как другим позволено бесконечно увеличиваться».

Запрет деления на нуль математики объясняют вполне логично. Пусть m:0 n. Тогда должно выполняться и обратное действие — n·0 m. Но ведь мы знаем, что умножение на нуль всегда дает нуль, следовательно, предыдущий результат был ошибочен. Хорошо, скажете вы, но ведь нуль на нуль делить-то можно. Действительно, кажется, что выражение 0:00 истинно, ведь истинно и обратное действие — 0·0 0. Однако не будем спешить с выводами. Возьмем не менее истинное выражение 4·0 0 и произведем обратное действие. Получается, что 0:0 4! А почему не пять, не тридцать, не сто двадцать три? Ведь любое число, умноженное на ноль, даст ноль. Следовательно, ноль, деленный на ноль, тоже должен дать ЛЮБОЕ число, что сводит на нет саму суть чисел. Множество хитрых математических лжедоказательств, вроде того, что «дважды два — пять», содержат в своих действиях закамуфлированное деление на нуль. Всё это безобразие и привело к тому, что математики запретили деление на нуль. Ведь отказаться от самого нуля они уже не могли…

Настоящий путь к равноправию нуль начал после появления в математике отрицательных чисел. Думаю, теперь вы не сильно удивитесь тому, что это открытие сделали всё те же индусы. На этот раз большую роль сыграла житейская практика, а не отвлеченное мышление. Недаром отрицательные числа индийцы называли «долгами», предвосхищая бухгалтерский учет и распространенное выражение «пойти в минус», то есть, понести убытки вместо прибыли. Границей между прибылью и убытками стал «нулевой баланс», где затраты и прибыль взаимно погашают друг друга.

Так нуль, ранее только заполнявший пустые разряды, начал «карьеру» разделительного барьера между разнокачественными числами. В XVII веке Декарт вводит в обиход математики свою систему координат (видимо, не без влияния географической сетки, изобретенной еще древними греками). Вместе с ней нуль обрел графический зрительный образ, став точкой пересечения осей абсцисс и ординат — точкой, в которой исчезали как количественные, так и качественные характеристики чисел.

А. Степанов в своей работе «Число и культура» считает, что и здесь проявился европейский рационализм по отношению к нулю. Он пишет: «Нуль — такая же «точка», как и остальные числа. Геометрия предполагает сенсорную зримость, наглядность, и о каком же «настоящем» отсутствии тогда может идти речь? Европейцы с самого начала «материализовали» нуль. Кроме того, арифметика и геометрия вообще принципиально различны».

Самый известный разделительный нуль — это конечно нуль шкалы термометра. Сначала положение нуля было определено самой минимальной температурой, которую ученый Фаренгейт смог получить в своей лаборатории (это была температура смеси соли и льда). Нам же более знакома температурная шкала Цельсия, в которой нуль градусов — это температура плавления льда. Для живого организма, состоящего в основном из воды, и живущего в окружении воды, эта система отсчета оказалась наиболее удобной. Выражения «ниже нуля» и «выше нуля» дают достаточно реальное представление о погоде за окном. Однако для ученых Кельвин разработал абсолютную температурную шкалу, где никакого «ниже нуля» нет. Здесь нуль назван абсолютным и составляет минус 273 градуса по Цельсию. При такой температуре должно полностью прекратиться всяческое движение атомов и молекул. «Должно» — сказано не случайно, ибо (если законы термодинамики правы) считается, что в реальности абсолютный нуль недостижим. Объясняется это тем, что чем ближе система подходит к абсолютному нулю, тем больше работы нужно затратить на ее дальнейшее охлаждение.

После введения координат нуль утвердился в массовом сознании как исходная точка. Сегодня никого не удивляет выражение «начать с нуля» или время 00:00. А вот древние греки никогда бы не произнесли «ноль часов». Полночь для них была бы двадцать четвертым часом, после чего начался бы отсчет часа первого — и никаких там нулей. Подобный счет во многом не лишен смысла, ведь нередко привычка относиться к нулю как к точке отсчета, приводит к несуразностям. Взять хотя бы памятное празднование так называемого «миллениума». Начало нового тысячелетия народы мира дружно отпраздновали 1 января 2000 года, искусившись красивой круглой датой. Хотя не надо быть ученым, чтобы понять, что двухтысячный год — не первый, а последний год тысячелетия.

Тем не менее, «время номер ноль» в современной науке выглядит не таким уж абсурдом. Именно нулевой точкой отсчета времени принято считать момент Большого взрыва — момент образования Вселенной. О том, что было до этого, ученые предпочитают не рассуждать — с этим бы разобраться!

Так что нуль, при всем удобстве его использования, до сих пор остается самым загадочным числом, более того — знаком и символом, выходящим за рамки математики в область чистой философии, где господствуют такие же таинственные понятия, как Вечность и Бесконечность. Благодаря нулю, люди смогли оперировать с тем, что они не могут представить. А разве это не чудо?