Дождливая Аня написала в своей тетради 40 натуральных чисел, использовав для этого ровно 57 цифр. Оказалось, что ровно 24 из написанных Аней чисел содержат цифру 1, а ровно 25 содержат цифру 3.
Докажите, что Аня написала хотя бы одно простое число.

Найдите наименьшее количество натуральных чисел сумма кубов которых равна 2025.

Задача № 1:
На дошц написано число 321321321321. Як цифри треба стерти, щоб отримати найбльше можливе число, яке длиться на 36?
На доске написано число 321321321321. Какие цифры нужно стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, которое делится на 36?

Задача № 2:
(По мотивам задачи Валерия Анатольевича Сендерова, светлая ему память!)
Взаимно простые натуральные числа x, y, z
удовлетворяют уравнению
x2+y2 равно z4.
Докажите, что xy
делится на 168, то есть кратно количеству часов в недел…
… показать весь текст …

Мне очень нравится число 21, наверное, в прошлой жизни я был очковой змеёй!)

Не всегда стоит считать, иногда следует идти поверх чисел.

Три задачки для поднятия настроения («три» в данном случае не является глаголом), все их можно решить, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором:

№ 1:
Найдите наименьшее натуральное число, в котором участвуют только цифры 6 и 7 в равном количестве, и кратное 6 и 7.

№ 2:
Существует ли наибольшее целое число, любые 3 последовательные цифры которого образуют натуральное число, кратное 11?

№ 3:
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа произведения всех натуральных чисел от 1 до 68 (включительно), чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 68?

Бонус, задача-шутка:
Сколько у кошек усов?

Назовём натуральное число дождливым, если оно на 2 больше некоторого простого числа. Пару дождливых чисел назовём золотой, если и сумма, и разность чисел в этой паре также являются дождливыми числами (разность берётся со знаком «плюс»). Найдите все золотые пары и докажите, что других нет.

а) Докажите, что для любого натурального n, большего или равного 2, существует n таких попарно различных составных натуральных чисел, что сумма любых n-1 из них кратна количеству делителей оставшегося.

б) Та же задача, но все n чисел должны быть ещё и попарно взаимно простыми.

Британские ученые доказали, что 100 500 человек прочитали это число как стопицот.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, представьте число 2025 в виде суммы четырёх натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи всех этих слагаемых были различны (необходимо использовать все 10 цифр).

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, можно ли расставить целые числа от 1 до 22 по кругу так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом.

Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Оказывается, может!
У числа 11101101111 ровно 10 делителей!

1) На Руси самым большим числом считалась Колода, равная 10 в степени 50. Про Колоду говорили, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

2) На современном этапе границы счёта определены термином «бесконечность», который не обозначает какое-либо конкретное число.

3) Существует даже канторовская Абсолютная Бесконечность, превосходящая любое трансфинитное число.

4) А что нас ожидает в будущем?

Цифра 2 как ключ к квадратным тайнам!

Докажите, что для каждого натурального числа n (большего или равного 4) найдётся такое n-значное число, которое является квадратом натурального числа и при добавлении в его начало цифры 2 также получится квадрат некоторого натурального числа.

Коль не сложить, то нужно вычитать —
сказала ты и вроде так решила,
но в самом деле, так легко сказать,
а где же взять, скажи, на это силы?

Мы продолжаем складывать в рюкзак,
всё то, что унести с собой не можем,
смотрю, не вычитается никак
и понимаю — это, правда, сложно.

А знаешь, сколько раз хотела я,
всё вычесть, но не стёрла даже номер,
лишь повторяла: мы теперь — друзья,
и вместе ничего уже не строим…
… показать весь текст …

Докажите, что в каждом натуральном числе, кратном 111111, обязательно найдутся две одинаковые цифры.

Попробуйте сделать это не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

(Для меньших репьюнитов утверждение неверно. Например, 1234987650 делится на 11111, 1234786509 делится на 1111 (а значит, на 11 и 1), 1234675089 делится на 111.)

Двадцать наименьших простых чисел, представимых в виде суммы трёх факториалов:
3, 5, 13, 31, 127, 241, 727, 45361, 3991681, 479006641, 958003201, 6227383681, 87178331521, 87178654081, 20922789893041, 20922789928321, 21009968179201, 355687468012801, 355774606387201, 6402373745644801.

—В 80-х мода была ужасной, одевались тогда ужасно! И я в том числе. Думаю, по безвкусице я был мужской версией теперешней Кайли Миноуг.

Дождливая Аня изучает натуральные числа, которые делятся на 2025 и имеют в своей десятичной записи только цифры 2 и 5. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел? И что это за число?

Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде суммы трёх попарно взаимно простых чисел, отличных от 1.