Настя написала трёхзначное число, приписала к нему его же, а у полученного шестизначного числа выписала все натуральные делители.
Затем Даша сделала то же для своего трехзначного числа. Может ли оказаться так, что ровно 12 делителей в их списках совпадут?

(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)

Таня выписала на доску первые 10 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Расставьте между Таниными числами знаки арифметических действий (скобки использовать нельзя, группировать числа тоже нельзя) таким образом, чтобы полученное выражение равнялось 1000. Тане удалось это сделать даже не пиша компьютерную программу. Попробуйте и вы!

Как называется самое большое число?
Вообще-то оно никак не называется, ибо, во-первых, самого большого числа человек еще не знает (и, пожалуй, никогда
не узнает), а во-вторых, из тех чисел-великанов, что нужны людям в работе, названия имеют далеко не все. Но прежде чем познакомить вас с ними, расскажем небольшую историю, которая позволит представить размеры одного из исполинских чисел. Заметим при этом, что в ряду исполинов оно почти самое маленькое. Итак, история.
Мудрец, придумавший шахматну…
… показать весь текст …

Если хочешь разгневить Юпитера то просто напиши IV

P. S.: историческая справка…
В Древнем Риме число 4 никогда не писали как «IV», хотя сегодня мы используем именно такой вариант. Причина удивительна: «IV» были первыми буквами имени величайшего римского бога — Юпитера (IVPPITER).
Использовать священные буквы для обозначения простого числа? Ни один римлянин не осмелился бы на такое! Поэтому они всегда писали четверку как «IIII».
Привычное нам «IV» вошло в широкое употребление только в XIX веке. А на старинных римских монетах и памятниках вы всегда найдете именно «IIII».
Интересный факт: эта традиция сохранилась до наших дней в оформлении циферблатов дорогих часов — они до сих пор используют «IIII» вместо «IV».

Можно ли доказать что чего-то не существует?

Не существует целых положительных натуральных чисел между числом три и четыре. Как доказать? А это не очевидно? Иногда всякие глупости и доказывать не нужно.

9998989999999999999 — загадочное число от Насти!

Трискайдекафобка Настя обнаружила, что наименьшее натуральное число, которое делится на 13 и сумма цифр которого равна квадрату числа 13, равно 9998989999999999999.

Первые 13 элементов последовательности, в которой энный элемент равен наименьшему натуральному числу, которое делится на n
и сумма цифр которого равна квадрату числа n
, выглядят так:

1, 4, 9, 88, 2995, 19998, 599998, 49999888, 999999999, 1999999999990, 319999999999999, 29999999999999988, 9998989999999999999.

Разумеется, этой последовательности пока нет в OEIS, а числа 9998989999999999999 до сегодняшнего дня не было в Интернете (впрочем, как и слова ТРИСКАЙДЕКАФОБКА).

Когда вы сердиты -посчитайте до десяти …

Приснилось число 50. Тему не помню.
Решил поделить на 2. Вышло 17,5.
Нее, думаю, чё-то не так. Проверю.
Умножил 17,5 на 2.
50, однако.
???

Как найти семнадцатое число Резмен?

Числом Резмен назовём всякое положительное целое, у которого, если само это число разделить на количество его делителей (то есть на количество положительных чисел, на которые оно делится без остатка), в результате получится факториал (произведение нескольких подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы).

Известно, что первые шестнадцать таких чисел, упорядоченные по возрастанию, равны:
1, 2, 8, 12, 72, 384, 720, 5760, 6720, 64800, 181440000, 2322432000, 2351462400, 3773952000, 3991680000, 1034643456000.

Требуется выяснить, существует ли семнадцатое число Резмен. Если оно существует, найдите его или покажите, насколько велико оно может быть. Если же никакого семнадцатого числа Резмен на самом деле не существует, докажите это.

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Настя выписывает цифры по порядку: 12345678901234567890…

а) Докажите, что наступит момент, когда у Насти получится число, кратное 11.

б) При каком наименьшем натуральном N у Насти никогда не получится числа, кратного N?

Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?
Это тоже открытая проблема, поскольку ответ до сих пор не найден.

Самые точные прогнозы те, которые делаются задним числом.

Самые продаваемые решения — это простые решения. Многозначное число — это лишь результат сложения простых чисел. 2+2…

Найдите следующее число в последовательности:

13, 28, 44, 46, 50, 56, 64, 68, 70, 76, 88, 92,?

Ну и дела!
Я уже столько лет езжу на 354-ом автобусе, и только сегодня узнал, что это за волшебное число такое, 354.
Оказывается, если умножить сумму цифр числа 354 на произведение цифр числа 354, получится сумма делителей числа 354.
Действительно, у числа 354 ровно 8 делителей: 1, 2, 3, 6, 59, 118, 177, 354.
Сумма всех этих делителей равна 720, то есть 3*5*4*(3+5+4).

Но что ещё более любопытно, 354 далеко не единственное такое число, таких чисел, оказывается, немало: 1, 62, 138, 354, 435, 644, 1485, 2546, 4826, 5664, 6285, 6474, 9265, …

Произведение первых 10 натуральных чисел, имеющих ровно 10 делителей, равно 31432982727264672153600.

Все двузначные натуральные числа, кроме числа 43, записали в строчку в некотором порядке без пробелов. Докажите, что получилась десятичная запись составного числа.

Назовём натуральное число сверхпроводящим, если у него сумма цифр, умноженная на произведение цифр, равна количеству делителей. Вот первые шесть сверхпроводящих чисел: 1, 11, 12, 1111, 121212, 1121211.