Мы любим, отпускаем и прощаем…
И арифметику любви вдруг постигаем.
Когда мужчина женщину встречает
Их встречу все «Сложением» называют
Жил человек, он вроде — единица
И вот ему приспичило влюбиться
Мы к одному прибавили один
В сложеньи «два», так думать погоди.
Теперь внимательно гляди…
Сейчас увидишь двойка станет «единицей»
Процесс сей называется — «влюбиться»
Мы говорим — он встретил половинку.
Выходит человек «один» всего на серединку
Как скажет математик — лишь одна вторая
… показать весь текст …

(Дисклеймер: все персонажи являются вымышленными и любое совпадение с реально живущими или когда-либо жившими людьми случайно.)

Таня выписала на доску первые 10 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Расставьте между Таниными числами знаки арифметических действий (скобки использовать нельзя, группировать числа тоже нельзя) таким образом, чтобы полученное выражение равнялось 1000. Тане удалось это сделать даже не пиша компьютерную программу. Попробуйте и вы!

9998989999999999999 — загадочное число от Насти!

Трискайдекафобка Настя обнаружила, что наименьшее натуральное число, которое делится на 13 и сумма цифр которого равна квадрату числа 13, равно 9998989999999999999.

Первые 13 элементов последовательности, в которой энный элемент равен наименьшему натуральному числу, которое делится на n
и сумма цифр которого равна квадрату числа n
, выглядят так:

1, 4, 9, 88, 2995, 19998, 599998, 49999888, 999999999, 1999999999990, 319999999999999, 29999999999999988, 9998989999999999999.

Разумеется, этой последовательности пока нет в OEIS, а числа 9998989999999999999 до сегодняшнего дня не было в Интернете (впрочем, как и слова ТРИСКАЙДЕКАФОБКА).

Не простая арифметика, когда на избирателе возят воду, а привозят воздух

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, …
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение …144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.
К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

Произведение первых 10 натуральных чисел, имеющих ровно 10 делителей, равно 31432982727264672153600.

Ну и дела!
Я уже столько лет езжу на 354-ом автобусе, и только сегодня узнал, что это за волшебное число такое, 354.
Оказывается, если умножить сумму цифр числа 354 на произведение цифр числа 354, получится сумма делителей числа 354.
Действительно, у числа 354 ровно 8 делителей: 1, 2, 3, 6, 59, 118, 177, 354.
Сумма всех этих делителей равна 720, то есть 3*5*4*(3+5+4).

Но что ещё более любопытно, 354 далеко не единственное такое число, таких чисел, оказывается, немало: 1, 62, 138, 354, 435, 644, 1485, 2546, 4826, 5664, 6285, 6474, 9265, …

Назовём натуральное число сверхпроводящим, если у него сумма цифр, умноженная на произведение цифр, равна количеству делителей. Вот первые шесть сверхпроводящих чисел: 1, 11, 12, 1111, 121212, 1121211.

мачо минус, а равно чмо
мачо минус, а равно чмо

Произведение n-значного числа на n есть n-ная степень натурального числа. Найти наименьшее из таких n-значных чисел.
Для каждого n от 1 до 6 решение есть:

1, 18, 243, 1024, 20000, 497664.

Попробуйте найти решение для n, равного 7, или доказать, что его нет.